Eichung eines Thermoelements

Frage

Die Thermoelemente Ni-CrNi und Pt-PtRh werden zur Temperaturmessung verwendet, wobei für folgende Temperaturen die Werte der Thermospannungen bekannt sind (dieser Datensatz ist auch als DataLab-ASC-Datei verfügbar): T[°C] Ni-CrNi Pt-PtRh 0 0.00 0.00 20 0.80 0.11 100 4.10 0.65 200 8.13 1.44 300 12.21 2.32 400 16.39 3.25 500 20.64 4.22 600 24.90 5.22 700 29.14 6.26 800 33.31 7.33 900 37.36 8.43 1000 41.31 9.57 1100 45.14 10.74 1200 48.85 11.93 Angenommen, Sie messen beim Ni-CrNi-Thermoelement eine Thermospannung von 25 mV und beim Pt-PtRh-Element eine Spannung von 10 mV. Welchen Temperaturen entsprechen diese Spannungen und wie genau können Sie die Temperaturmessung bei diesen Temperaturen machen, wenn Sie die Thermospannungen auf ca. 10 µV genau messen können?

Antwort

Der Zusammenhang zwischen Temperaturdifferenz und Thermospannung ist eine Materialkonstante und eignet sich daher sehr gut zur Temperaturmessung. Allerdings haben Thermoelemente unterschiedliche Eichkurven, die sich am besten durch Polynome 3. bis 6. Ordnung ausdrücken lassen. Zur Eichung verwendet man deshalb ein Polynom entsprechender Ordnung und bestimmt die Parameter des Polynoms mit Hilfe der linearen Regression. Entscheidend dabei ist die Wahl der Ordnung des Polynoms. Gibt es keine theoretische Begründung für ein bestimmtes Polynom, so wird man das Polynom so wählen, dass die Genauigkeit der Anpassung etwa in der Größenordnung der Messfehler der Eichpunkte liegt. Geht man davon aus, dass die Temperaturen auf +/-1 K genau bestimmt worden sind, so wird man primär die Eichung nicht genauer machen können als dies durch die Eichpunkte vorgegeben ist. Wie kann nun die Genauigkeit einer Eichkurve ermittelt werden? Am einfachsten durch Betrachtung der Residuen der Regression. Die folgende Abbildung zeigt die Residuen für eine Gerade, eine Parabel (Polynom 2. Ordnung) und ein Polynom 6. Ordnung. Man wird im Allgemeinen die Ordnung des Polynoms so wählen, dass bei möglichst niedriger Ordnung des Polynoms, die Residuen in etwa die selbe Größenordnung aufweisen wie die Messungenauigkeit (in unserem Fall ca. +/- 1°). Dieses Kriterium führt für die Ni-CrNi-Eichkurve zu einem Polynom 4. Ordnung, für die Pt-PtRh-Eichkurve zu einem Polynom 6. Ordnung.

Anleitung

Starten Sie DataLab und laden Sie die zugehörigen Daten. Klicken Sie dann auf Mathematik/Regression/Einfach... und wählen Sie als x-Achse die Variable "Pt-PtRh" und als y-Achse die Variable "T[°C]". Daraufhin wird das Regressionsfenster angezeigt. Klicken Sie den Knopf "Polynom" und wählen Sie als Grad des Polynoms "2". Sie sollten nun folgendes Fenster sehen: Schalten Sie nun auf die Darstellung der Residuen um, in dem Sie den Reiter "Residuen" aktivieren. Schalten Sie den Grad des Polynoms um, die Residuen werden nun für das jeweils aktuelle Polynom angezeigt.