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Curve Fitting by Polynomials

Polynomial-Anpassung ("fit") ist eine Erweiterung der linearen Regression. Statt einer Gerade wird ein Polynom so durch die Messpunkte gelegt, dass die Summe der Quadrate der Residuen εj minimal wird.

yj = f(xj) = a0 + a1xj + a2xj2 + .... + anxjn + εj = Σakxjk + εj

Der höchste Exponent in der Polynomialgleichung bestimmt die Ordnung des Polynoms. Je größer die Ordnung eines Polynoms um so mehr kann sich das Polynom den Daten anpassen (das bedeutet aber nicht, dass Polynome höherer Ordnung bessere Modelle liefern). Für die Zahl der notwendigen Datenpunkte gilt grundsätzlich, dass die Mindestzahl der Datenpunkte um eins größer ist als die Ordnung des Polynoms. Allerdings ist es ratsam, eine deutlich größere Zahl an Werten für einen Polynomialfit zu verwenden, wobei als Faustregel gilt, dass die Zahl der Datenpunkte zumindest doppelt so groß sein soll wie die Ordnung des Polynoms. Bei zu geringer Zahl der Messwerte (bzw. bei einer zu hohen Ordnung des Polynoms) kommt es zu einer Überanpassung, die die Generalisierung der Funktion verschlechtert. Entsprechend werden die Schätzwerte schlechter.

Grundsätzlich sollte man sich bei der Wahl der Ordnung eines Polynoms immer von den zugrundeliegenden physikalischen Zusammenhängen leiten lassen. Modelliert man z.B. den Zusammenhang zwischen der Hallsondenspannung und der registrierten Masse in einem Massenspektrometer (dieser Zusammenhang ist quadratisch), so drängt sich natürlich der Einsatz einer parabolischen Regression auf.

Last Update: 2012-10-08