Faltung - Mathematische Details

Author: Hans Lohninger

Das deutsche Wort für Konvolution, "Faltung", beschreibt den Vorgang treffend. Zwei Signale g(t) und h(t) werden durch Multiplizieren und Addieren der Produktterme gefaltet, wobei eines der Signale entlang der Zeitachse gespiegelt und verschoben wird. Das (diskrete) Faltungsergebnis für eine gegebene Verschiebung t ist definiert als

wobei 2n das Maximum der Probenanzahl von beiden Signalen ist. Die Summe der Produkte wird "diskrete Faltung" genannt.

Im Fall kontinuierlicher Funktionen g(x) und h(x) wird aus der Produktsumme ein Integral:

Zum besseren Verständnis der Faltung kann man sich die Faltungsoperation als Gewichtung des Signals g(x) mit dem (gespiegelten) Signal h(x) vorstellen, wobei die Gewichtungsfunktion h(x) über den gesamten Definitionsbereich der Funktion g(x) verschoben wird und das Ergebnis als Funktion der Verschiebung t gesehen wird. Das folgende interaktive Beispiel ermöglicht es, mit unterschiedlichen Faltungsfunktionen zu experimentieren.

Der Faltungsoperator weist wie andere Operatoren auch eine eigene Algebra auf, die wichtigsten Gesetze sind hier zusammengefasst.