Faltung - Einführung

Author: Hans Lohninger

Die Konvolution (Faltung) ist ein Phänomen (oder eine mathematische Prozedur, je nach Standpunkt), das sehr geläufig und von fundamentaler Bedeutung bei der Signalverarbeitung ist. Bevor wir in mathematische Details gehen, hier ein kleines Beispiel, das die Prinzipien der Faltung zeigt:

Eine Lochkamera mit einem unendlich kleinen Loch produziert ein scharfes (invertiertes) Bild f(x). Jeder Punkt außerhalb der Kamera wird perfekt auf dem Film abgebildet.

Wenn das Loch einen Durchmesser größer null hat, wird das Bild verschwommen, weil nun das Bild jedes Punktes außerhalb der Lochkamera einem Fleck innerhalb der Kamera entspricht. Dieser Fleck beinhaltet eine Verteilung der Intensitäten h(x), welche den benachbarten Punkten übergelagert sind. Die Verteilungsfunktion h(x) hängt von der Gestalt und der Weite des Lochs ab.

Das Gesamtbild in der Kamera ist eine Überlagerung von "vielen" (bzw. einer unendlichen Anzahl von) Bildern, die gegeneinander geringfügig verschoben sind. In der mathematischen Nomenklatur wird das resultierende Bild F(x) als die Konvolution des Originalbildes f(x) mit der Verteilungsfunktion der Lichtintensitäten, die durch den endlichen Durchmesser des Kameralochs verursacht wird, bezeichnet. Die Konvolution ist ein Prozess, der in einem verwaschenen Signal resultiert, weil das originale "scharfe" (oder präzise) Signal mit einer endlichen Funktion gefaltet ist. Die Faltungsfunktion kommt normalerweise von Einschränkungen in den Messungen, wie limitierte Auflösung oder limitierte Zeit für die Messungen.

Der inverse Prozess der Konvolution wird Dekonvolution genannt und wird dazu genutzt, das scharfe Signal aus dem verschwommenen zu extrahieren.

Beachten Sie, dass das Konzept der Konvolution nicht nur auf Bilder beschränkt ist, sondern auch in vielen anderen Situationen angewendet werden kann, z.B. beim Glätten von Zeitserien, bei der Korrelation von zwei Signalen, bei der Addition von Zufallszahlen, oder wenn man die Fourier-Transformationen und deren Beziehung zu den Signalen in der Zeitdomäne betrachtet.