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Fehlerarten

Author: Hans Lohninger

Es gibt zwei verschiedene Fehlerarten, die auftreten können, wenn eine Entscheidung getroffen wird: Fehler 1. Art treten auf, wenn wir die Nullhypothese verwerfen, obwohl sie wahr ist. Fehler der 2. Art treten auf, wenn wir die Nullhypothese nicht verwerfen, obwohl sie falsch ist (also die Alternativhypothese richtig ist).

Das folgende Beispiel soll helfen, die beiden Fehlerarten besser zu verstehen. Stellen Sie sich vor, Sie wollen Erz kaufen, um Eisen zu produzieren. Sie entscheiden, dass das Erz eine bestimmte minimale Konzentration von Eisen aufweisen muss, um für den Prozess verwendbar zu sein. Weil die Konzentration von Eisen bei jeder Lieferung schwankt, müssen Sie sicherstellen, dass das gelieferte Erz im Durchschnitt mehr als die spezifizierte minimale Konzentration enthält. Um vorsichtig zu sein, vertrauen Sie Ihren Lieferanten nicht. Zur Sicherheit nehmen Sie an, dass die Lieferanten Ihre Anforderungen nicht erfüllen können (H0 oder Nullhypothese). Sie glauben den Lieferanten nur dann, wenn sie Ihnen nachweisen können, dass Ihre Anforderungen erfüllt werden (H1 oder Alternativhypothese).

Sie formulieren Ihre Hypothesen:

H0: Die Eisenkonzentration ist weniger oder gleich dem spezifizierten Limit.
H1: Die Konzentration ist höher als das Limit.

Sie analysieren nun das angelieferte Erz auf seinen Eisengehalt. Wegen der Unsicherheiten, die mit der Bestimmung des Eisengehalts verbunden sind, gibt es ein gewisses Risiko, dass Ihre Entscheidung, die Sie letztlich aufgrund der Analysen machen müssen, falsch ist. Wenn Sie sich dafür entscheiden, das Erz zu kaufen und es stellt sich später heraus, dass Ihre Spezifikationen nicht erfüllt wurden, haben Sie einen Fehler 1. Art begangen (das bedeutet, Sie haben H0 verworfen, obwohl sie wahr war). Es gibt auch die Möglichkeit, dass Sie H0 akzeptieren, obwohl sie eigentlich falsch ist: Sie kaufen nicht, obwohl die Spezifikationen erfüllt werden. Das wäre ein Fehler 2. Art.

Weil unsere Entscheidung richtig oder falsch sein kann und die Nullhypothese auch richtig oder falsch sein kann, gibt es vier mögliche Ergebnisse eines Tests. Die Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler vom Typ 1 oder 2 werden normalerweise mit α bzw. β angegeben.

Der Fehler 1. Art kann auch als "falscher Alarm" bezeichnet werden, der Fehler 2. Art als "versäumter Alarm". Welcher dieser Fehler der schwerwiegendere ist, hängt vom Schaden ab, den er anrichtet. Wichtig ist auch zu wissen, dass die Wahrscheinlichkeiten für Fehler der 1. und der 2. Art zusammenhängen. Vergrößert man den Fehler der 1. Art, verkleinert sich parallel dazu der Fehler der 2. Art und umgekehrt.

Im oben angegebenen Fall schädigt uns ein Fehler der 2. Art nicht, ausgenommen einer der abgewiesenen Anbieter bietet das Erz um einen sehr viel geringeren Preis an. Im Gegensatz dazu ist ein Fehler 1. Art für uns nachteilig, denn das würde bedeuten, dass wir das Erz kaufen, ohne den gewünschten Eisengehalt zu bekommen. Eine ausführlichere Beschreibung der Fehlerproblematik finden Sie im folgenden interaktiven Beispiel:


ANMERKUNGEN

  • α ist die Fehlerrate der "Testprozedur", nicht die eines "bestimmten Testergebnisses" und
  • 1-α ist das Vertrauen in die Testprozedur.
  • Eine Hypothese zu verwerfen wiegt schwerer, als eine Hypothese zu akzeptieren, also verwerfen wir H0 mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von α oder es gibt keinen ausreichenden Beweis für die Verwurf von H0. Aber wir akzeptieren H0 nicht, außer β ist bekannt.
  • 1-β wird die Trennschärfe (engl. power) eines Tests genannt.

 




Last Update: 2012-10-08