Convolution - Mathematical Details

There is a German word for convolution, Faltung ("folding"), which aptly expresses the process involved in convolution. Two signals g(t) and h(t) are convolved ("folded") by mirroring one of the signals along the time axis, multiplying the two signals and summing the product terms. Thus the convolution result for any given parameter t is defined as

,

with 2n being the maximum of the number of samples of either signals. This sum of products is called the discrete convolution. There is also a continuous definition of the convolution:

Zum besseren Verständnis der Faltung kann man sich die Faltungsoperation als Gewichtung des Signals g(x) mit dem (gespiegelten) Signal h(x) vorstellen, wobei die Gewichtungsfunktion h(x) über den gesamten Definitionsbereich der Funktion g(x) verschoben wird und das Ergebnis als Funktion der Verschiebung t gesehen wird. Das folgende interaktive Beispiel ermöglicht es, mit unterschiedlichen Faltungsfunktionen zu experimentieren.

Der Faltungsoperator weist wie andere Operatoren auch eine eigene Algebra auf, die wichtigsten Gesetze sind hier zusammengefasst.