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Äquivalenzoperationen

Author: Hans Lohninger

Ein Schlüssel, um lineare Gleichungen zu lösen, sind Äquivalenzoperationen, die ein System aus linearen Gleichungen verändern, ohne die Lösung zu verändern. Zum Verständnis der folgenden Abschnitte, sollten Sie sich erinnern, dass Systeme von linearen Gleichungen als Matrizen dargestellt werden können.

Reihen-Äquivalenzoperationen A sei eine beliebige Matrix. Folgende Operationen werden Reihen-Äquivalenzoperationen genannt:
  • Das Austauschen zweier Reihen von A.
  • Das Multiplizieren irgendeiner Reihe von A mit einer beliebigen Zahl ungleich null.
  • Das Ersetzen einer Reihe von A durch die Summe dieser Reihe und einer anderen Reihe, multipliziert mit einer beliebigen Zahl (einschließlich 0).

Alle drei Operationen erhalten alle wesentlichen Eigenschaften einer Matrix. Am wichtigsten ist, dass sie die Lösung des Systems von linearen Gleichungen, die von A dargestellt werden, nicht ändern.

Für andere Zwecke können Sie Reihenoperationen durch Spaltenoperationen ersetzen, was zum gleichen Ergebnis führt, obwohl sie die Lösungen eines Systems von linearen Gleichungen nicht erhalten.

Beispiel: Manuelle Berechnung der Inversen einer Matrix

Ein Beispiel, wie man den Vorteil von Reihen- oder Spalten-Äquivalenzoperationen verwenden kann, ist die manuelle Berechnung einer Inversen. Lassen Sie uns die Inverse von

berechnen.
Zuerst erweitern wir diese Matrix mit der Einheitsmatrix der geeigneten Ordnung (roter Teil):

Nun werden wir Äquivalenzoperationen anwenden, um den grünen Teil der erweiterten Matrix in eine Einheitsmatrix zu transformieren. Das wird in der inversen Matrix A-1 resultieren, die in der roten Submatrix enthalten ist.

Wir starten, indem wir beide Reihen vertauschen (Regel 1, siehe oben).

Als Nächstes addieren wird die zweite Reihe zweimal zu der ersten (Regel 2, siehe oben) und erhalten:

Nachdem wir die zweite Reihe mit -1 (Regel 3, siehe oben) multipliziert haben, verbleiben wir mit:

Also haben wir schließlich A-1 berechnet:




Last Update: 2012-10-08