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Unabhängige Ereignisse

Author: Hans Lohninger

A und B sind voneinander unabhängige Ereignisse, wenn das Auftreten von B die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, nicht beeinflusst (und umgekehrt):

P(A|B) = P(A)
und
P(B|A) = P(B).

Experimente werden normalerweise so geplant, dass sie unabhängig sind.

Beispiel: Eine Münze wird zwei Mal geworfen. Wir definieren die Ereignisse A als "der erste Wurf ist Kopf" und B als "der zweite Wurf ist Kopf". Beeinflusst der erste Wurf das Ergebnis des zweiten Wurfs? Ganz intuitiv würden wir "Nein" sagen, aber wir wollen es beweisen:

P(A) = P(HH) + P(HT) = ½ ,
P(B) = P(TH) + P(HH) = ½.
P(B|A) = P(A B) / P(A) = P(HH) / P(A) = ¼ / ½ = ½

Wir sehen also, dass P(B|A) = P(B) ist, daraus folgt, dass das Ereignis A keinen Einfluss auf das Ergebnis von B hat. Die Ereignisse sind voneinander unabhängig.

ANMERKUNG

  • "Unabhängigkeit" ist ein schwieriges Konzept und kann nicht in einem Diagramm dargestellt werden. Unabhängigkeit ist nicht intuitiv und man muss sie für jede Situation überprüfen.
  • Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von unabhängigen Ereignissen ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: P(A B) = P(A) . P(B)
    Das kann aus der Gleichung P(A B) = P(A) . P(B|A) abgeleitet werden, wobei P(B|A) = P(B), wenn die Ereignisse unabhängig sind.
  • Wenn A und B unabhängig sind, dann sind A und B' auch unabhängig.
  • Zwei einander ausschließende Ereignisse A und B sind immer unabhängig! Wenn B eingetreten ist, ist es für A unmöglich, simultan aufzutreten.
  • Wenn A unabhängig von B und A unabhängig von C ist, muss A nicht notwendigerweise auch von (B C) unabhängig sein.

 

Unabhängigkeit von mehreren Ereignissen

Wenn , dann sind auch alle Subereignisse Ei unabhängig. Eine Menge von Ereignissen ist unabhängig, wenn jede endliche Untermenge dieser Ereignisse auch unabhängig ist. Manchmal besteht die Wahrscheinlichkeit eines Experiments aus einer Reihe von Unterexperimenten (ein Wurf beim mehrmaligen Werfen von Münzen). In vielen Fällen können wir annehmen, dass die Ergebnisse unabhängig sind. Wenn alle Experimente identisch sind und denselben Probenraum und dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, gilt:






Last Update: 2012-10-08