Zeitreihen - Vorhersage

Author: Hans Lohninger

Eine der wichtigsten Anwendungen von Zeitreihen ist, ein Modell für die Vorhersage von Daten zu finden. Die grundlegende Idee hinter Vorhersagen besteht darin, Informationen, die in den Zeitreihen enthalten sind, zu extrahieren und diese zur Abschätzung des nächsten Wertes zu verwenden. Die Information, die typischerweise in einer Zeitreihe enthalten ist, basiert auf:

• Periodizität und
• Trends

Zur Einführung wollen wir einen Blick auf folgendes einfache Beispiel werfen, das einer Zeitreihe von Lufttemperaturen an aufeinanderfolgenden Tagen um 8 Uhr entnommen wurde:

Was könnte der nächste Wert dieser Zeitreihe sein. Warum ist es vernünftig zu berechnen, ob x(t+1) 8, 9, oder 10 °C sein wird? Vielleicht sogar 11°C? Warum ist es unwahrscheinlich, dass die nächste Morgen-Temperatur -2 °C sein wird? Wie schätzen Sie x(t+1) ab?

Eine einfache Vermutung kann gemacht werden, indem man sich x(t) ansieht: Die morgige Temperatur wird wahrscheinlich der heutigen ähnlich sein. In diesem Fall können wir annehmen, dass die Schätzung x(t+1) für den morgigen Wert x(t+1) gleich x(t) ist:

Das ist eine nützliche Formel für die Voraussage von zukünftigen Werten von Zeitreihen. Sie bietet tatsächlich sehr gute Voraussagen für die meisten realen Umwelt-Milieus. Deshalb sollten alle Ergebnisse, die mittels anderer Methoden erhalten werden mit denen, die aus dieser simplen Methode erhalten wurden, (zumindest) verglichen werden.

Und wie haben Sie die Temperatur für Übermorgen bestimmt? Warum ist es schwieriger x(t+2) vorauszusagen? Weil die Abweichung von x(t) größer sein könnte. Normalerweise ist die Voraussage von multiplen Zeit-Schritten schwieriger, als die Voraussage eines einzigen Zeit-Schritts. Es können zwei Vorgehensweisen unterschieden werden: x(t+2) kann direkt aus x(t-m)...x(t) vorausgesagt werden. In diesem Fall ist es analog x(t+1) vorauszusagen. Aber x(t+2) kann auch nach der Abschätzung von x(t+1) vorausgesagt werden, indem man diese Schätzung miteinbezieht. Diese schrittweise Voraussage-Technik ist gefährlich, weil sich kleine Fehler anhäufen können. Die direkte Abschätzung von x(t+2) ist empfehlenswerter.

Zurück zu x(t+1): Wie sind Sie eigentlich zu dieser Voraussage gekommen?

Abgesehen von der Betrachtung von x(t), ist es auch vernünftig x(t-1) und x(t-2) miteinzubeziehen. Weil es eine aufwärtsgehende Tedenz von 6 zu 8 zu 9°C gibt, könnten Sie annehmen, dass x(t+1) 10, oder 11°C sein wird. Wie können Sie diesen Prozess automatisieren? Grundsätzlich brauchen Sie ein Modell, dass diese Abhängigkeiten beschreibt. Deshalb ist das allgemeine Ziel, wenn Sie versuchen Voraussagen zu machen, Modelle aufzusetzen, um zukünftige Elemente der Zeitreihe von vergangenen abzuschätzen.