Grundlagen der Statistik enthält Materialien verschiedener Vorlesungen und Kurse von H. Lohninger zur Statistik, Datenanalyse und Chemometrie .....mehr dazu.


Fehlerfortpflanzung

Author: Hans Lohninger

Was passiert, wenn ich in einem zu untersuchenden Prozess nicht nur eine Fehlerquelle habe, sondern mehrere, die jeweils zum Messsignal beitragen? Mathematisch gesprochen, kann man das folgendermaßen formulieren: Angenommen, das Messsignal y sei eine Funktion von drei Variablen a,b, und c.

y = f(a,b,c)

Dann trägt jede Variable zum Gesamtfehler (der durch die Varianz des Signals y gemessen wird) mit einem Anteil bei, der proportional zum Quadrat der partiellen Ableitung der jeweiligen Variable und proportional zur Varianz der jeweiligen Variable ist. Die Beiträge zum Gesamtfehler der Funktion y werden (für den Fall, dass y eine lineare Funktion der unabhängigen Variablen ist) entsprechend der folgenden Formel addiert:

Allgemein gesprochen, ist die Varianz des Gesamtsignals sy2 aus der Summe der Varianzen der einzelnen Beiträge mal dem Quadrat der jeweiligen partiellen Ableitung zu berechnen. Wichtig ist, dass die oben angegebene Formel nur gültig ist für unabhängige (nicht korrelierende) Variablen.

Für die Praxis hat das Fehlerfortpflanzungsgesetz allerdings eine gravierende Einschränkung: Voraussetzung für dessen Anwendung ist die Kenntnis der Einzelfehler. Dies ist sehr oft nicht gewährleistet, so dass man meist den Gesamtfehler nicht wirklich gut abschätzen kann (zumindest auf diesem Weg). Zusätzlich zeigt die Erfahrung, dass die Abschätzung der Einzelvarianzen sehr oft grob falsch ist, was sich unmittelbar auf des Ergebnis der Schätzung des Gesamtfehlers auswirkt.

Trotz der in der Praxis oft nicht durchführbaren Fehlerrechnung, lässt sich aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz recht gut der Einfluss der Fehler einzelner Variablen auf den Gesamtfehler ablesen.



Last Update: 2012-10-08