Grundlagen der Statistik enthält Materialien verschiedener Vorlesungen und Kurse von H. Lohninger zur Statistik, Datenanalyse und Chemometrie .....mehr dazu.


Fourier-Reihen

Author: Hans Lohninger

Jedes periodische Signal y(t) kann als unendliche Summe von Sinus- und Kosinustermen dargestellt werden. Diese Summe wird Fourier-Reihe genannt:

mit An und Bn als Fourier-Koeffizienten und T als Periodendauer der Funktion y(t). Der Koeffizient A0 repräsentiert den aperiodischen Teil des Signals (was bedeutet, dass A0 gleich der Durchschnittsamplitude des Signals ist). Alternativ kann man das Signal y(t) auch durch die Amplituden Dn und die Phasenwinkel φn beschreiben:

wobei Amplitude und Phasenwinkel folgendermaßen mit den Fourier-Koeffizienten zusammenhängen:



φn = tan-1 (Bn/An)

Dieses interaktive Beispiel zeigt, wie man durch Kombination der Sinus- und Kosinusterme unterschiedliche Signale y(t) formen kann. Klicken Sie auf das Bild, um die Applikation zu starten und selbst zu experimentieren.

Die Menge an Kosinus- und Sinusfunktionen ist komplett und orthogonal, was garantiert, dass jede periodische Funktion y(t) repräsentiert werden kann und dass die Fourier-Koeffizienten voneinander unabhängig sind.

Der Index n in den obigen Formeln kann jeweils einer bestimmten Frequenz fn zugeordnet werden:

fn = nf0

wobei sich die Grundfrequenz f0 aus der Periodenlänge T der Funktion y(t) ergibt. Man kann also das Signal y(t) durch zwei (im Prinzip unendlich breite) Spektren darstellen, in dem man die Koeffizienten An und Bn gegen n aufträgt. Die so erhaltenen Spektren bezeichnet man als Realteil (An) und Imaginärteil (Bn) des Fourier-Spektrums.

In der Praxis wird man aber meist auf die Amplitude und die Phase zurückgreifen und bekommt so das Amplitudenspektrum und das Phasenspektrum. Trägt man die quadrierte Amplitude gegen die Frequenz auf, so erhält man das Leistungsspektrum.

Beispiele von Fourier-Reihen

Die folgende Tabelle zeigt ein paar Beispiele einfacher periodischer Funktionen. Die dargestellten Amplitudenspektren sind so normiert, dass die höchsten Spektrallinien jeweils 1.0 lang sind und berücksichtigen nicht die tatsächlichen Signalamplituden.

Funktion Fourier-Reihe Amplitudenspektrum (normiert)
Rechtecksignal
Sägezahnfunktion
Sinus-Halbwelle
(Vollwellengleichrichter)



Last Update: 2012-10-19