Eigenvektoren und Eigenwerte - weiterführende Diskussion

Author: Hans Lohninger

Der folgende Abschnitt gibt einige Hinweise darauf, wie Eigenvektoren berechnet werden können. Um die grundlegende Gleichung

für ihre Eigenvektoren e und Eigenwerte λzu lösen, müssen wir diese Gleichung umgestalten (I ist die Einheitsmatrix):

|A -λI||e| = |o|,

betrachten, sehen wir, dass eine nicht triviale Lösung vorliegt, wenn |A -λI| und/oder |e | null sind. Also werden wir unserer Anfangsbedingung, Ae = λe gerecht, wenn die obigen Gleichungen erfüllt werden. Der Fall, dass |e| = 0, ist uninteressant, da das nur stimmt, wenn der Vektor e gleich dem Nullvektor o ist. Also müssen wir für weitere Überlegungen unsere Aufmerksamkeit auf |A -λI| = 0 richten. In der Tat ist diese Gleichung so wichtig, dass ihr ein spezieller Name gegeben wurde:

Charakteristische Determinante Charakteristische Funktion

Für eine gegebene Matrix A bezeichnet |A -λI| ihre charakteristische Determinante mit der Unbekannten λ. Die polynomiale Funktion χ(t) := |A -λ I| wird die charakteristische Funktion von A genannt.

Beispiel: Charakteristische Determinante

Letztlich werden Eigenvektoren und Eigenwerte als Lösungen der charakteristischen Funktion definiert:

Eigenwert, Eigenvektor

Für eine gegebene Matrix A und ihre charakteristische Funktion χ(t) = |A -λI| werden die Lösungen der charakteristischen Gleichung χ(t) = 0 Eigenwerte (oder charakteristische Lösungen) λ1, λ2 ... λk genannt. Sie erfüllen das Kriterium Ae =λjej für alle j in [1, k] für bestimmte Vektoren ej. Diese Vektoren ej, jeder von ihnen korrespondiert mit einem Eigenwert λj, werden Eigenvektoren (oder charakteristische Vektoren) genannt.