Moore-Penrose pseudo-inverse Matrix

Author: Hans Lohninger

Die klassische Inverse einer Matrix ist auf reguläre (quadratische, nicht-singuläre) Matrizen beschränkt. Diese Beschränkung hat große Auswirkungen auf die Art von multivariaten Problemen, die durch Matrixalgebra gelöst werden können. Um die nötigen Hilfsmittel für eine Ausweitung der lösbaren Probleme zu schaffen, wurde die Idee der Inversion einer gegebenen Matrix auf ein allgemeineres Niveau ausgedehnt:

Moore-Penrose pseudo-inverse Matrix

A sei eine beliebige Matrix der Ordnung mn, und B eine Matrix der Ordnung nm. B wird als "Moore-Penrose Pseudo-Inverse" von A bezeichnet, wenn ABA = A BAB = B AB symmetrisch ist BA symmetrisch ist Die Moore-Penrose Pseudo-Inverse von A wird normalerweise als A+ dargestellt.

Was sagt diese eigenartige Definition aus? Einfach ausgedrückt, besagen die ersten zwei Aussagen, dass alle nichtinvertierbaren Eigenschaften einer Matrix vernachläßigt werden, während der Rest invertiert wird. Die anderen zwei Aussagen wählen eine passende Matrix B aus all den Matrizen aus, die die ersten zwei Bedingungen erfüllen.

Wenn ein lineares Gleichungssystem nicht lösbar ist, so möchte man dennoch gerne eine gute Annäherung an die Lösung finden. Genauer ausgedrückt, man möchte eine Lösung finden, die die Fehler minimiert - und die Moore-Penrose pseudo-inverse Matrix ergibt die beste Annäherung.