Analyse der Residuen

Author: Hans Lohninger

Die Analyse der Residuen ist für jedes Regressionsmodell wichtig. Obwohl die numerische Analyse gründlicher ist, zeigt sich in der Praxis, dass numerische Tests für kleine Stichprobenumfänge unbefriedigend sind. Als Ausweg bieten sich grafische Methoden zur Residuenanalyse an. Diese führen meist zu besseren Ergebnissen, da das menschliche Gehirn darauf trainiert ist, Muster zu erkennen.

Neben der Verteilung der Residuen (gefordert ist eine Normalverteilung) sind auch Abhängikeiten von der unabhängigen Variablen zu beachten. Diese sieht man am einfachsten, wenn man die Residuen gegen die unabhängige Variable aufträgt. In diesem Plot kann man sowohl Fehlanpassungen (die bei Wahl des falschen Modells auftreten) als auch Ausreißer und inhomogene Varianzen erkennen.

Die folgende Zusammenstellung gibt einen Überblick zu den Effekten nicht erfüllter Voraussetzungen:

Voraussetzung	Effekt auf die Residuen bei ungültiger Voraussetzung	Typischer Residuenplot
Die eingesetzte Regressionsfunktion muss den tatsächlichen Zusammenhang zwischen X und Y widerspiegeln.	Die Residuen zeigen eine systematische Abweichtung von der idealen geraden Bandstruktur.
Die Messfehler müssen voneinander unabhängig sein.	Die Residuen weisen eine serielle Korrelation auf. Die serielle Korrelation ist nicht immer gut erkennbar; man sollte deshalb einen Durbin-Watson test durchführen.
Für ein bestimmtes X, sind wiederholte Messungen von Y normalverteilt.	Die Residuen sind nicht normalverteilt. Bei kleinen Stichproben kann das Histogramm der Residuen irreführend sein. Man sollte deshalb einen Normalverteilungstest durchführen.
Für jedes X muss die Y-Verteilung die gleiche Varianz aufweisen.	Plottet man die Residuen gegen X so zeigt sich keine Bandstruktur mit konstanter Varianz. Typischerweise ist die Varianz an einem Ende des Plots höher als am anderen ("Trompetenstruktur").

Die folgende Diashow zeigt einige weitere typische Beispiele, bei denen die eine oder andere Voraussetzung für eine korrekte Regression verletzt wurde.

Regression und Residuen Ein simples Experiment zu nicht-normalverteilten Residuen.