Signalmittelung über die Zeit - Mathematische Details

Author: Hans Lohninger

Der Mittelwert und die Varianz einer Summe von unabhängigen zufälligen Variablen können von den allgemeinen Eigenschaften des Erwartungswert-Operators abgeleitet werden. Der Erwartungs- oder Mittelwert einer zufälligen Variablen x ist:

mit P(x_i) als der kumulativen Dichtefunktion.

Der Erwartungswert ist ein linearer Operator, deshalb weist er folgende Eigenschaften auf:

Wenn also z die Summe von k unabhängigen Variablen ist

,

.

Also ist der Mittelwert einer Summe von unabhängigen zufälligen Variablen gleich der Summe der Mittelwerte; seine Varianz ist die Summe seiner Varianzen.

Beim Auftreten von additivem Rauschen kann ein Rohsignal mittels S = S₀ + E beschrieben werden, wobei S₀ das rauschfreie Signal und E ein zufälliger Fehler ist. Wenn wir n Signale mitteln, erhalten wir

und seine Varianz ist

,

da die Varianz nur durch die Varianz des Rauschens bestimmt wird und nicht durch die des Signals S₀, dessen Varianz per Definition gleich null ist.

Unter der Annahme, dass die Varianz der individuellen Signale gleich ist (was recht vernünftig ist, da sich der Messprozess zwischen den Messungen nicht verändern sollte), erhalten wir

Das bedeutet, dass sich die Varianz eines Signals mit der Zahl der verwendeten Proben verringert bzw. die Standardabweichung mit der Quadratwurzel von n abnimmt.