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Mittelwert

Author: Hans Lohninger

Der Mittelwert wird im allgemeinen Sprachgebrauch als Durchschnitt bezeichnet. Mathematisch gesehen gibt es verschiedene Arten von Mittelwerten, die jeweils in bestimmten Anwendungsszenarien ihre Berechtigung haben:

Arithmetisches Mittel Er wird durch Addition aller Werte und anschließender Division der Summe durch die Anzahl der Werte berechnet. Wenn xi die einzelnen Werte einer Variablen X mit i = 1, 2 ... n Messwerten repräsentiert berechnet sich der Mittelwert dann zu:

Wenn der Begriff "Mittelwert" ohne nähere Bestimmung verwendet wird, ist damit üblicherweise das arithmetische Mittel gemeint.
 
Harmonisches Mittel Bei Berechnungen bei denen reziproke Werte den Ausschlag geben (zum Beispiel bei Proportionen oder bei Geschwindigkeiten für konstante Wegstrecken) muss die Mittelwertsberechnung auf dem harmonischen Mittel beruhen.(1) Das harmonische Mittel ist definiert als der Kehrwert des Mittelwerts der Kehrwerte.

Das harmonische Mittel kann nie größer als das geometrische oder das arithmetische Mittel sein.
 
Geometrisches Mittel Das geometrische Mittel wird für die Durchschnittsbildung von Faktoren benötigt (z.B. die durchschnittliche Steigerungsrate eines Aktienkurses). Es wird als n-te Wurzel aus dem Produkt aller Faktoren berechnet:

Das geometrische Mittel ist eng verwandt mit der Lognormalverteilung.
 

Hier ein einfaches interaktive Beispiel für eine "naturgetreue" Berechnung des Mittelwerts.

Bedenken Sie bitte, dass es unterschiedliche Notationen für den Mittelwert gibt: Der Mittelwert einer Grundgesamtheit wird mit μ bezeichnet, wohingegen der Mittelwert einer Stichprobe entweder mit m oder mit bezeichnet wird.

Der Mittelwert ist eine gute Annäherung an die zentrale Tendenz einer unimodalen symmetrischen Verteilung, kann aber bei schiefen oder multimodalen Verteilungen irreführend sein. Daher ist es hilfreich, bei schiefen Verteilungen zusätzlich andere Lagemaße zu bestimmen (so ist z.B. der Median bei schiefen Verteilungen oder bei Ausreißern deutlich robuster). Eine weitere Möglichkeit mit Ausreißern umzugehen, ist die Benutzung eines getrimmten Mittelwerts, den man ermittelt in dem man die kleinsten und größten Werte vor der Berechnung des Mittelwerts entfernt (typischerweise werden 5% der Werte weggelassen).

Hinweis 1: Die Summe der quadrierten Abweichungen der Messwerte von ihrem Mittelwert ist immer kleiner als die Summe der quadrierten Abweichungen von einem beliebigen anderen Wert.

Hinweis 2: Der Mittelwert spielt auch oft bei der Genauigkeit eines Experiments eine große Rolle. Sehen Sie sich folgendes interaktive Beispiel an, um einen Eindruck von Genauigkeit im Gegensatz zu Präzision zu bekommen.

Median/Mittelwert - wann verwende ich was? - Lagemaße und die Grenzgenialität unserer Bildungssysteme.



(1) Eine beliebte Frage auf die die meisten Leute intuitiv falsch antworten ist z.B. folgende Aufgabe: Ein Auto fährt die Strecke von Wien nach Salzburg mit einer konstanten Geschwindigkeit von 120 km/h. Bei der Rückfahrt fährt es konstant 80 km/h. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Auto insgesamt gefahren? Wenn Sie spontan auf 100 km/h tippen liegen Sie wie die meisten anderen falsch (die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 96 km/h, das entspricht dem harmonischen Mittelwert).



Last Update: 2012-10-14