Additiv-Gesetz - und einander ausschließende Ereignisse

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Die einfachste Methode die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von Ereignissen zu bestimmen, ist (bei gleichen Einzelwahrscheinlichkeiten) die Abzählung der Elemente der zusammengesetzten Menge. Dabei werden diejenigen Werte, die zu beiden Ereignissen gehören, nur einmal gezählt. Wenn wir naiverweise aber versuchen die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge zweier Ereignisse durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B zu berechnen, stellen wir fest, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B größer ist als die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von A und B. Die Differenz ist die Wahrscheinlichkeit der Werte in der Schnittmenge.

Aus diesen Betrachtungen ergibt sich das Additiv-Gesetz für Vereinigungsmengen:

P(A) + P (B) = P(A B) + P(A B),

P(A B) = P(A) + P (B) - P(A B).

Beispiel: Wir werfen einen Würfel und definieren die Ereignisse A als die Menge der gerade Zahlen, und B als die Menge der Zahlen kleiner als 3. Die Wahrscheinlichkeiten von A, B und der Schnittmenge von A und B sind: 1/2, 1/3, und 1/6. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von A und B ist dann P(A B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3.

Einander ausschließende Ereignisse:

Beispiel: Zwei Münzen werden geworfen, und wir wollen die Wahrscheinlichkeit wissen, zumindest einen Kopf zu erhalten. Wir können das Ereignis A (zumindest ein Kopf) als die Vereinigung der Menge B mit exakt einem Kopf und der Menge C mit exakt zwei Köpfen darstellen. Weil die Ereignisse B und C einander ausschließen, können wir einfach ihre Wahrscheinlichkeiten addieren, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A zu erhalten:

P(A) = P(B C) = P(B) + P(C)
P(A) = 1/2 + 1/4 = 3/4