ANOVA - Anleitung

Author: Hans Lohninger

Für die Durchführung einer ANOVA müssen folgende Grundvoraussetzungen erfüllt sein:

• Die Daten müssen normalverteilt sein.
• Die Varianzen müssen für alle Proben gleich sein.

Werden diese Voraussetzungen nicht erfüllt, kann die Analyse der Varianzen zwar immer noch durchgeführt werden, allerdings müssen dann andere Testprozeduren angewendet werden, die über diese Einführung hinausgehen.

Angenommen, die Daten folgen einer Normalverteilung, so müssen wir zuerst auf gleiche Varianzen prüfen⁽¹⁾. Abhängig von der Art und der Größe der Stichproben sind mehrere Tests verfügbar:

Test nach Hartley	Bedingung: Die Proben müssen gleich groß sein. Die Testgröße ist als Verhältnis zwischen der größten und der kleinsten Varianz aller Proben definiert.
Test nach Cochran	Der Test nach Cochran sollte verwendet werden, wenn die Varianz einer Probe beträchtlich größer ist als die aller anderen Proben. Die Testgröße wird durch das Verhältnis zwischen der größten Varianz und der Summe aller Varianzen berechnet.
Bartlett-Test	Bedingung: Dieser Test ist sensibel für Nicht-Normalverteilungen. Der Test nach Bartlett ist eine Kombination aus einem Test auf Normalität und einem Test auf gleiche Varianzen.
Brown-Forsythe-Test und Levene-Test	Der Levene-Test und eine abgewandelte Form davon, der Brown-Forsythe-Test, haben den Vorteil, dass einerseits die Normalverteilungsbedingung nicht erfüllt sein muss und sie andererseits auch für ungleich große Gruppen eingesetzt werden können. Der Levene-Test ist auch für mehrfaktorielle Untersuchungen geeignet. Der Unterschied zwischen Levene- und Brown-Forsythe-Test besteht in der Verwendung der Mittelwerte beim Levene-Test, bzw. der Mediane beim Brown-Forsythe-Test.

Im nächsten Schritt wird die Analyse der Varianzen durchgeführt. (Zur Erinnerung: das Ziel ist Mittelwerte zu vergleichen, nicht Varianzen). Die Nullhypothese für die ANOVA ist, dass alle Probenmittelwerte gleich sind. Um nun die ANOVA ausführen zu können, müssen wir das Quadrat des quadratischen Mittels⁽²⁾ innerhalb jeder Gruppe MS_w und zwischen den Gruppen MS_b berechnen. Die Testgröße F, die durch das Verhältnis von MS_b zu MS_w definiert ist, folgt einer F-Verteilung mit k-1 und n-k Freiheitsgraden. Ein F-Wert, der höher als der kritische Wert F_k-1;n-k ist, bedeutet, dass die Nullhypothese verworfen werden muss (d.h. dass zumindest ein Mittelwert von den restlichen Mittelwerten abweicht).

(1)	Bei der Überprüfung der Varianz ist es eine gute Idee das Signifikanzniveau deutlich über dem der ANOVA anzusetzen, um den Fehler 2. Art möglichst gering zu halten (= die irrtümliche Beibehaltung der Nullhypothese, dass die Varianzen gleich sind).
(2)	Der quadratische Mittelwert (engl. mean of squares, MS) ist definiert als die Summe der quadrierten Differenzen zum Mittelwert dividiert durch die Freiheitsgrade.