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Filter - Mathematischer Hintergrund

Author: Hans Lohninger

Der Prozess des Filterns, der das Glätten als Spezialfall beinhaltet, kann mathematisch auf verschiedene Arten beschrieben werden:

Lineare Algebra

Die Glättung eines Signals kann ausgeführt werden, indem man ein verschiebbares Fenster über das Signal legt und die Datenpunkte im Fenster mittelt. Im Allgemeinen ist es ein gewichteter Mittelwert, wobei die Gewichtungsfaktoren als Filterkoeffizienten bezeichnet werden. Wir können die gewichtete Mittelwertsbildung in zwei Berechnungsschritte aufspalten:
  1. eine elementweise Multiplikation der Datenpunkte mit den Filterkoeffizienten
  2. die Summierung aller gewichteten Punkte

Diese Vorgangsweise ist identisch mit der Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren, wobei ein Vektor aus den Datenpunkten besteht und der andere Vektor aus den Filterkoeffizienten. Wir können die Wahl des Fensters in das Skalarprodukt miteinbeziehen, indem wir die Werte für die Filterkoeffizienten außerhalb des Fensters gleich null setzen. Die Bewegung des Fensters verlangt es, die Filterkoeffizienten nach jedem Schritt um eine Messung zu verschieben, was zu einer Reihe von Skalarprodukten führt, die als Matrixmultiplikation zusammengefasst werden können.

Faltung

Die mathematische Operation der Faltung (oft durch einen Stern repräsentiert) wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

.

Hier ist x das Signal; h steht für die Filterkoeffizienten; y ist das geglättete Signal; j ist der Index der Datenpunkte; und i ist der Index für die Filterkoeffizienten. Für den Fall, dass wir 2n + 1 Filterkoeffizienten haben, reicht der Index i von -n bis +n. Also erstreckt sich unser Datenfenster nur n Punkte zur Rechten und zur Linken des von uns bedachten Punktes. Diese Vorgangsweise ist für die Berechnung effizienter als die Matrixmultiplikation, wo die Verknüpfung mit dem Fenster durch eine große Zahl von Multiplikationen mit null durchgeführt werden muss.

Bei genauer Betrachtung sehen wir, dass die Faltungsgleichung eigentlich für Zeit umgekehrte Filterkoeffizienten gilt, weil wir h(-n) mit x(j -(-n)) = x(j + n) multiplizieren. Für die meisten Glättungsfilter hat das allerdings keine Bedeutung, da die Koeffizienten symmetrisch um den Mittelwert sind.

Faltung in der Frequenzdomäne

Die Faltung in der Frequenzdomäne kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

Die großgeschriebenen Variablen stehen für die Fourier transformierten Variablen y, x und h. Die Frequenz wird durch ω beschrieben. In der Fourier-Domäne reduziert sich die Faltung zu einer elementweisen Multiplikation der Signale und der Filterkoeffizienten. H wird auch Impulsantwort genannt, weil sie aus der Faltung eines Impulses mit h entsteht.

State-Space-Notation

Die einfachste Art, Filter zu beschreiben, ist die so genannte State-Space-Notation:
.
Dies ist die verallgemeinerte Version der Faltungsgleichung: Hier sind die Filterkoeffizienten durch ai und bi gegeben und der Index i läuft von 0 bis ki, anstatt von -n bis +n. Die zweite Summe auf der rechten Seite beinhaltet Beiträge von schon gefilterten Datenpunkten. Abhängig davon, ob die Filterkoeffizienten ai und bi gleich null sind, haben die Filter unterschiedliche Eigenschaften und Namen.
  • Wenn alle bi Koeffizienten gleich null sind, wird das Filter Infinite Impulse Response (IIR) oder rekursives Filter genannt. Autoregressive (AR) zufällige Prozesse können durch Anwenden dieses Filters auf zufällige Eingaben produziert werden.
  • Wenn alle ai Koeffizienten gleich null sind, wird das Filter Finite Impulse Response (FIR) oder nicht rekursives Filter genannt.



Last Update: 2012-10-08