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Savitzky-Golay Filter - Mathematische Details

Author: Hans Lohninger

Ein Polynomfilter kann als eine stückweise Anpassung einer Polynomfunktion an das Signal angesehen werden. Die Anpassung wird durch eine Least-Squares-Schätzung (LS-Schätzung) zwischen der Matrix X und dem Vektor y durchgeführt:

y = Xb.
Die Standard LS-Lösung ist gegeben durch:
b = (XTX)-1XTy.

Die geschätzten Werte, die für die Glättung verwendet werden, sind:

= Xb = X(XTX)-1XTy = Hy.

Das Produkt H = X(XTX)-1XTy wird auch die "hat"-Matrix genannt und ist für jedes y für ein gegebenes Polynom dasselbe. Sie kann also einmal berechnet und für eine spätere Anwendung gespeichert werden. Das haben Savitzky und Golay für Polynome verschiedenster Ordnung und Stücke verschiedener Länge n (Originalpublikation in , Korrekturen davon in und ) getan.

Anmerkung: Die (n+1)-te Zeile der H-Matrix enthält die tabulierten Koeffizienten für die Savitzky-Golay-Filter. Wir verwenden nur die Abschätzung für den Mittelpunkt des sich bewegenden Fensters für die Glättung. Die anderen Zeilen werden nur für die Glättung des Endpunkts des Signals verwendet, wenn weniger Werte als die Fenstergröße 2n+1 übrig sind.

Die Matrix X ist die so genannte Vandermond-Matrix. Wenn wir eine Polynomfunktion der Ordnung p anpassen wollen, bekommen wir eine Reihe von Gleichungen der folgenden Form:

yi = bp . xip + bp-1 . xip-1 + ... b1 . xi1 + b0 . xi0 , for i = 1 .. 2n+1.


Im Fall, dass n=1, x = [-1 0 +1] erhalten wir:


,

das in den Filterkoeffizienten b = [0 1 0] resultiert. In diesem speziellen Fall würde man eigentlich keine Berechnungen ausführen, sondern nur die Originalwerte heranziehen. Für n = 5 und p = 3 sind die Filterkoeffizienten b = [-0.0857 0.3429 0.4857 0.3429 -0.0857].

Als einen Spezialfall können wir auch den gleitenden Mittelwert ableiten, d.h. wir wollen eine konstante Linie anpassen (ein Polynom nullter Ordnung):






Last Update: 2012-10-08