Matrixmultiplikation

Author: Hans Lohninger

Die Multiplikation zweier Matrizen resultiert immer in einer Matrix (im Unterschied zum Vektorprodukt, das entweder ein Skalar oder eine Matrix sein kann). Das Ergebnis der Matrixmultiplikation wird Matrixprodukt oder manchmal auch Cayley-Produkt ganannt. Die Definition lautet:

Matrixprodukt

(ars), (brs) und (crs) seien drei Matrizen der Ordnung mn, np und mq. Jedes Element crs der Matrix C, das Ergebnis des Matrixprodukts AB, wird durch das innere Produkt der s-ten Zeile von A mit der r-ten Spalte von B berechnet.

Das klingt sehr kompliziert, besagt aber lediglich, dass eine Zeile der Matrix A und eine Spalte der Matrix B genommen werden und daraus das innere Produkt dieser zwei Vektoren berechnet wird. Folgendes interaktive Beispiel soll Ihnen den Ablauf der Matrixmultiplikation verdeutlichen.

Die Eigenschaften von Matrixmultiplikationen sind sehr interessant: Zunächst kann man nur Matrizen passender Ordnung multiplizieren. Die Zahl der Spalten der ersten Matrix muss gleich der Zahl der Zeilen der zweiten Matrix sein, was eine Matrix ergibt, die dieselbe Anzahl an Zeilen hat wie die erste Matrix und dieselbe Zahl an Spalten wie die zweite.

Darüber hinaus ist die Reihenfolge der Matrizen von Bedeutung: AB ist nicht unbedingt gleich BA. In vielen Fällen endet der Austausch von A und B in einem undefinierten Matrizenprodukt (das Produkt kann nicht berechnet werden); und nicht einmal für quadratische Matrizen gilt das Kommutativgesetz.

Skalare sollte man als 11-Matrizen betrachten. Wenn eine n1-Matrix mit einer 1n-Matrix (n ist beliebig) multipliziert wird, ist das Ergebnis eine 11-Matrix (ein Skalar).

Hier einige Regeln, die für Matrixmultiplikationen gelten:

• Das Assoziativgesetz: (AB)C = A(BC) für jede Matrix A, B und C passender Ordnung
• Das Distributivgesetz: A(B+C) = AB+AC und (A+B)C = AC+BC. Beachten Sie, dass einmal "von der rechten" und einmal "von der linken Seite" multipliziert werden muss, da die Operanden eines Produkts nicht vertauscht werden dürfen!
• Die heikle Null: 0A = A0 = 0 für jede A (es darf aber nicht aus AB = 0 geschlossen werden A = 0 oder B = 0, oder beides).

Um die Matrixmultiplikation einfacher verständlich zu machen, können die Matrizen auf besondere Weise angeordnet werden. Normalerweise wird eine Matrixmultiplikation als AB = C geschrieben (siehe Abbildung unten). Aus diesem Schema ist jedoch die Ordnung der resultierenden Matrix C nicht immer klar ersichtlich.

Ein einfacher Trick kann hier helfen: Die zwei Matrizen A und B werden so umgestellt, dass diese beiden Matrizen entlang den Seiten eines pp-Quadrats angeordnet werden. Die Größe des offenen Rechtecks stellt bei dieser Anordnung die Ordnung der Matrix C dar.