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Vertrauensbereich des Mittelwerts

Author: Hans Lohninger

Bei der Berechnung des Mittelwerts einer Probe soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass der wahre Mittelwert innerhalb bestimmter Grenzen um den berechneten Mittelwert liegt. Diese Grenzen werden durch das Vertrauensintervall festgelegt. Die Größe des Vertrauensintervalls hängt von der Wahrscheinlichkeit P ab, dass der wahre Mittelwert innerhalb dieser Grenzen gefunden wird. Die Wahrscheinlichkeit P wird normalerweise als α = 1-P spezifiziert; α wird Signifikanzniveau genannt.

Das Vertrauensintervall (Konfidenzintervall) des Mittelwerts ist definiert durch


wobei tn-1;1-α/2 der Wert der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden und einem Signifikanzniveau von 1-α/2 ist.

Der Faktor wird als Standardfehler des Mittelwerts bezeichnet und kann als Standardabweichung des Mittelwerts verstanden werden, da Mittelwerte von Stichproben eine Streuung aufweisen, die durch den zentralen Grenzwertsatz der Statistik kontrolliert wird. Die Streuung nimmt mit der Quadratwurzel von n ab.

Bei der Spezifikation der Präzision einer Messung stösst man in Publikationen immer wieder auf unterschiedliche Angaben. So werden sowohl der Vertrauensbereich, als auch der Standardfehler des Mittelwerts, aber auch die Standardabweichung der Stichprobe angegeben. Grundsätzlich sollte man korrekterweise immer den Vertrauensbereich (unter Angabe des Signifikanzniveaus) anführen. Der Standardfehler täuscht eine zu hohe Präzision vor, die Standardabweichung eine zu niedrige.

Hinweis 1: Die korrekte Berechnung des Konfidenzintervalls verlangt, dass die Stichprobe normalverteilt ist.
Hinweis 2: In vielen Lehrbüchern wird das Konfidenzintervall des Mittelwerts aus der Diskussion von großen Stichproben oder Grundgesamtheiten abgeleitet. Konsequenterweise wird dabei die z-Transformation eingeführt ohne der t-Verteilung viel Aufmerksamkeit zu schenken. In der Praxis ist es aber so, dass die t-Verteilung viel besser geeignet ist, das Konfidenzintervall zu berechnen, da sie sowohl kleine als auch große Stichproben und Grundgesamtheiten abdeckt (die t-Verteilung geht bei großen Stichproben gegen die Normalverteilung).




Last Update: 2012-10-08