Einstichproben-t-Test - große Stichproben

Author: Hans Lohninger

Lassen Sie uns davon ausgehen, dass wir Behälter mit einer teuren Substanz füllen müssen. Unser Kunde erwartet eine garantierte Menge μ des bestellten Materials. Wir kennen die Genauigkeit σ der Maschine und wollen prüfen, ob die Abfüllanlage richtig eingestellt ist. Da die Messungen recht kostengünstig sind (d.h. wir müssen nur den Behälter wiegen), können wir uns eine große Zahl von Messungen leisten. Dabei stellt sich folgende Frage: Wie groß muss die durchschnittliche Füllmenge sein, dass wir die Annahme, der Füllvorgang verläuft richtig, nicht verwerfen müssen? Da wir die Möglichkeit einer falschen Entscheidung eingestehen müssen, sind wir zufrieden, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als α% ist. Die Wahrscheinlichkeit α wird als Signifikanzniveau bezeichnet.

Die Entscheidung kann anhand der Tabelle getroffen werden:

1. Wir müssen zwei Hypothese formulieren (die Nullhypothese H₀ und die Alternativhypothese H₁):

H₀: Menge <= Limit
H₁: Menge > Limit

2. Als Nächstes bestimmen wir das Signifikanzniveau, das unseren Ansprüchen entspricht (ein übliches Signifikanzniveau ist 5 %).

3. Um zu entscheiden, welche der zwei Hypothesen zutrifft, berechnen wir die Testgröße

die normal verteilt ist. Der z-Wert gibt uns den Abstand des gemessenen vom festgelegten Wert µ, unter den Bedingungen einer Standardabweichung σ an, z.B. wenn z = 1,5, ist der Abstand 1,5 σ.

4. Nun legen wir den Bereich der Ablehnung fest. Um zu wissen, wann die Nullhypothese verworfen werden muss (d.h. ist weniger als μ), müssen wir den Ablehnungsbereich durch Spezifizierung des kritischen Werts z festlegen. Der Ablehnungsbereich hängt vom Signifikanzniveau ab. Der kritische z-Wert ist der besondere Wert auf der x-Achse der Verteilungsfunktion, für den der Bereich rechts davon unter der Verteilungsfunktion genau α % ist. Sie können diesen Wert aus einer z-Tabelle ablesen: z_x = z(0,95) = 1,645 oder den Verteilungsrechner starten, um den gesuchten Wert zu berechnen.

Anmerkung: Ein allgemeinerer Ansatz ist, die t-Verteilung zu verwenden, da sich diese bei großen Stichproben ohnehin der Normalverteilung annähert.