Ziehung mit/ohne Zurücklegen

Frage

Was ist der wichtigste Unterschied beim Ziehen von Stichproben mit und ohne Zurücklegen der gezogenen Objekte?

Antwort

Abgesehen davon, dass das Zurücklegen von gezogenen Proben in der Praxis oftmals gar nicht so einfach ist (die Mathematiker denken ja immer nur an blaue und rote Kugeln in einem Topf - was aber ist, wenn man die Objekte aus einem Produktionsprozess zieht in den die gezogenen Proben nicht mehr einschleusen kann oder darf?), besteht der entscheidende Unterschied darin, dass sich beim Ziehen mit Zurücklegen der Objekte die Wahrscheinlichkeiten für die nächste Ziehung nicht ändern. Im Gegensatz dazu, ändert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Art einer Probe zu ziehen von Mal zu Mal, da ja die Zahl der verbleibenden Proben des gezogenen Typs abnimmt und sich damit die Proportionen verschieben. Ein einfaches Beispiel soll das zeigen: nehmen wir an, wir hätten in einem Sack 10 Nüsse, von denen 4 wurmig sind. Variante 1: Wie groß ist die Chance zweimal hintereinander eine wurmige Nuss zu erwischen, wenn man die gezogene Nuss nicht mehr in den Sack hineingibt (die Probe wird also nicht zurückgelegt)? Die Wahrscheinlichkeit bei der ersten Ziehung eine wurmige Nuss zu bekommen, ist 4/10 also 0.4. Haben wir nun eine wurmige Nuss gezogen, so verbleiben noch 3 wurmige und 6 gute Nüsse im Sack. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Mal ebenfalls wieder eine wurmige Nuss zu ziehen ist also 3/9. Zusammen ergibt sich damit eine Wahrscheinlichkeit von 0.4*3/9 = 0.13333, also ca. 13.3 %. Variante 2: Wie groß ist die Chance zweimal hintereinander eine wurmige Nuss zu erwischen, wenn man die gezogene Nuss wieder in den Sack hineingibt? Die Wahrscheinlichkeit bei der ersten Ziehung ist wie schon zuvor 0.4. Die Wahrscheinlickeit, bei der zweiten Ziehung ebenfalls eine wurmige Nuss zu ziehen, ist nun aber unverändert, da wir ja die Nuss der ersten Ziehung wieder in den Sack zurückgelegt haben. Damit ergibt sich für die zweite Ziehung ebenhalls eine Wahrscheinlichkeit von 0.4. Insgesamt ist also die Wahrscheinlichkeit, zwei wurmige Nüsse zu ziehen 0.4 * 0.4 = 0.16, also 16%. Hinweis: Zieht man Proben aus einer Grundgesamtheit die eine sehr große Menge des gesuchten Objekttyps enthält, so wird sich in der Praxis kein Unterschied zwischen dem Ziehen von Stichproben mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen ergeben, da die Wahrscheinlichkeiten nahezu konstant bleiben, selbst wenn man die gezogenen Objekte nicht zurück legt. Grundsätzlich wird beim Ziehen mit Zurücklegen die Binomialverteilung wirksam, beim Ziehen ohne Zurücklegen die hypergeometrische Verteilung.

Anleitung

Führen Sie den Versuch mit Hilfe eines Sackes und mit marktierten Nüssen durch. Sie können die Ergebnisse kontrollieren und mit den theoretischen Werten vergleichen, in dem Sie das Programm discretedistri.exe vom VIAS-Webserver laden. Dieses Programm berechnet die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.