Bestimmtheitsmaß

Frage

Reicht bei der linearen Regression ein hohes Bestimmtheitsmaß (r2 > 0.999) für eine "brauchbare" Regression aus?

Antwort

Das Bestimmtheitsmaß wird oft falsch interpretiert, meist wird ihm zu viel Bedeutung zugeschrieben. Im Folgenden ein Beispiel, das zeigt, dass man selbst bei einem sehr hohen Bestimmtheitsmaß eventuell keine befriedigenden Ergebnisse bekommen kann: Nehmen wir an, wir müssen ein Massenspektrometer kalibrieren, dessen Eichkurve durch eine parabolische Regression zwischen Magnetfeld B und der Masse m bestimmt ist. Einzelne Werte der Eichkurve wurden wie folgt gemessen. Die erste Spalte enthält die Magnetfeldwerte, die zweite Spalte die korrekten Massenwerte, und die dritte Spalte fehlerhafte Massenwerte: B m-correct m-error 133.0 68.998 68.998 186.6 92.995 92.995 201.0 99.994 99.994 237.4 118.992 118.992 259.1 130.992 130.992 279.7 142.992 142.992 321.8 168.989 168.989 340.0 180.989 180.989 357.7 192.989 192.989 374.8 204.989 204.989 394.1 218.986 218.986 410.2 230.986 230.986 426.0 242.986 242.986 441.4 254.986 254.986 458.7 268.982 267.982 473.3 280.982 278.982 487.6 292.982 290.982 531.1 330.979 328.979 544.2 342.979 342.979 584.6 380.976 380.976 596.9 392.976 392.976 646.3 442.973 442.973 657.7 454.973 454.973 669.0 466.973 466.973 682.1 480.970 480.970 Berechnet man die parabolische Eichkurve mit Hilfe der linearen Regression, so bekommt man für die fehlerhaften Massenwerte ein Bestimmtheitsmaß von 0.99997, was vordergründig betrachtet ein exzellentes Ergebnis ist. Allerdings sieht man bei der Betrachtung der Residuen, dass die Genauigkeit der Regression auf ca. 2 Masseneinheiten (-0.5 bis +1.5) begrenzt ist, was für den Betrieb des Spektrometers gänzlich unbrauchbar ist, da ein gut kalibriertes Gerät die Massen auf etwa 0.1 Einheiten genau messen muss. Die Daten in der Eichtabelle wurden bewusst manipuliert um diesen Effekt und die Unbrauchbarkeit des Bestimmtheitsmaßes zu zeigen. Nimmt man die korrekten Eichwerte, so ergibt sich nach wie vor ein sehr hohes Bestimmtheitsmaß (0.99999986), allerdings sind die Residuen nun um den Faktor 10 besser (Abweichungen im Bereich von +/-0.1 Einheiten).

Anleitung

Starten Sie DataLab und laden Sie die entsprechenden Daten. Klicken Sie dann auf Mathematik/Einfache Regression... und wählen Sie für die x-Achse die Variable "B" und für die y-Achse die Variable "m/e [error]". Drücken Sie nun den Knopf Parabolisch. Sie sollten nun folgendes Fenster sehen: Wie man klar erkennen kann, ist die Regression sehr gut, das Bestimmtheitsmaß wird mit 1.0000 gerundet ausgegeben (der exakte Wert wäre 0.99997). Schalten Sie nun auf die Residuen um (Reiter Residuen oberhalb der Grafik). Sie erkennen in dieser Darstellung, dass die Abweichung der Schätzwerte der Funktion von den tatsächlichen Werten an manchen Stellen bis zu 1.5 Massen groß ist - was für ein Massenspektrometer eindeutig zu schlecht ist. Wiederholen Sie nun die obige Vorgangsweise und nehmen Sie die korrekten Massenwerte. Nun ergibt sich wieder ein Bestimmtheitsmaß von nahezu 1.0, allerdings sind die Residuen über einen Faktor 10 kleiner - damit wird nun die Kalibration brauchbar.