Mittelwert, Median und Modus

Frage

Wie unterscheiden sich Mittelwert, Median und Modus bei einer unsymmetrischen Verteilung?

Antwort

Während bei symmetrischen Verteilungen die drei Lagemaße Mittelwert, Median und Modus (nahezu) den selben Wert aufweisen, weichen die drei Werte bei unsymmetrischen Verteilungen deutlich voneinander ab. Generell ist es so, dass der Median bei unimodalen Verteilungen bis auf wenige Ausnahmen immer zwischen Mittelwert und Modus liegt (für bimodale und multimodale Verteilungen gilt diese Regel nicht!).

Anleitung

Hinweis: Die folgende Anleitung geht davon aus, dass Sie eine gekauft Datalab-Lizenz verwenden. Mit der frei verfügbaren Evaluierungversion können Sie die Schritte zwar auch nachvollziehen, der Modus kann jedoch deutlich instabiler sein, da mit der freien Version nur 2x250 Zufallszahlen erzeugt werden können. Starten Sie DataLab und erzeugen Sie mit Hilfe des Zufallszahlengenerators jeweils 10000 Zahlenwerte mit einer Normalverteilung und einer chi2-Verteilung (die für kleine Freiheitsgrade eine beträchliche Schiefe aufweist). Dazu löschen Sie zuerst eine eventuell bestehende Datenmatrix (Knopf in der Matrixübersicht) und stellen die Größe der Matrix auf zwei Spalten und 10000 Zeilen (Knopf ). Die erste Spalte der Matrix wird nun mit Hilfe des Zufallszahlengenerators (Befehl Mathematik/Zufallszahlengenerator...) mit normalverteilten Zahlen gefüllt, die zweite Spalte mit chi2-verteilten Zahlen. Geben Sie als Zahl der Freiheitsgrade 4 ein und für den Bereich der erzeugten Zufallszahlen -1.0 bis +20 (untere und obere Grenze). Berechnen Sie nun mit dem Befehl Mathematik/Univariate Statistik/Univariate Kenngrößen... die Verteilungsparameter für beide Spalten, in dem Sie nach dem Aufruf des Befehls den Knopf Univ. Kenngrößen aller Variablen klicken. Wie man aus dem Protokoll entnehmen kann, sind sowohl der Modus als auch der Median und der Mittelwert bei normalverteilten Daten nahezu gleich (4.0 in unserem Beispiel), während im Fall einer schiefen Verteilung die drei Lageparameter deutlich voneinander abweichen.