Chi-Quadrat-Verteilung

Author: Hans Lohninger

Um Rückschlüsse über die Verteilung der Grundgesamtheit auf der Basis der Probenvarianz zu ziehen, müssen wir eine spezielle Verteilung berücksichtigen, die Chi-Quadrat-Verteilung (χ²): Ist eine zufällige Variable Y normal verteilt (mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ²), dann zeigt die Größe

eine χ²-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden für eine zufällige Stichprobe der Größe n. Einige Beispiele für die χ²-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade werden in der Darstellung unten gezeigt.

Wie Sie sehen können, ist die χ²-Verteilung asymmetrisch und immer positiv. Der Mittelwert der χ²-Verteilung ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade n-1; die Varianz ist gleich der doppelten Anzahl an Freiheitsgraden. Die χ²-Verteilung ist in statistischen Tabellen aufgelistet oder kann online mit Hilfe des Verteilungsrechners berechnet werden. Die χ²-Verteilung wird zum Testen der Unterschiede zwischen Grundgesamtheiten und Probenvarianzen sowie zwischen theoretischen und beobachteten Verteilungen verwendet.

Eine wichtige Eigenschaft der χ²-Verteilung ist deren Additivität: Wenn zwei unabhängige Größen χ²-verteilt sind (mit den Freiheitsgraden f₁ und f₂), dann ist die Summe der beiden Größen χ²-verteilt mit dem Freiheitsgrad f₁+f₂.