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Cauchy-Verteilung

Author: Hans Lohninger

Definition
Eigenschaften
  • Die Verteilung ist um den Parameter a symmetrisch.
  • Der Parameter b bestimmt die Breite der Verteilung
  • Für die Cauchy-Verteilung sind die zentralen Momente nicht definiert, was eine Folge der nach außen hin nur langsam abfallenden Dichtefunktion ist (siehe auch Beispiel unten).
  • Der Median und der Modus sind gleich dem Lageparameter a
  • Setzt man die Parameter auf a=0 und b=1 so erhält man die Standard-Cauchy-Verteilung, die einer t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad entspricht.
Grafische Darstellung Die nebenstehende Abbildung zeigt Wahrscheinlichkeitsdichte der Cauchy-Verteilung für die Parameter a=1.5 und b=0.5
Anwendungen Die Cauchy-Verteilung tritt relative selten auf. Beispiele für eine Cauchy-Verteilung:
  • Der Quotient zweier normalverteilter Zufallszahlen ist Cauchy-verteilt.
  • Die Cauchy-Verteilung tritt bei der Brown'schen Molekularbewegung in Erscheinung ("random walk")
Mittelwert Der Mittelwert existiert nicht
Varianz Die Varianz existiert nicht
Simulation Das Programm Cauchy Verteilung berechnet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der Cauchy-Verteilung und ermöglicht die Berechnung des laufenden Mittelwerts sowie den Vergleich mit der Normalverteilung. Das folgende Beispiel wurde mit dieser Simulation berechnet.

Beispiel

Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf des Mittelwerts C(n) von Cauchy-verteilten Zufallszahlen in Abhängigkeit von n für n=1..500 (blaue Linie). Da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchy-Verteilung so langsam nach außen abfällt, dass es immer wieder zu außergewöhnlich kleinen oder großen Werten kommt, kann der Mittelwert selbst dann noch beträchtlich springen, wenn bereits mehrere hundert oder tausend Werte gemittelt worden sind. Die grauen Punkte zeigen die Einzelwerte, die roten Pfeile deuten jene Stellen an, wo ein Einzelwert außerhalb des Wertebereichs des Diagramms aufgetreten ist.

Im Vergleich dazu bewegt sich der Mittelwert von normalverteilten Zufallszahlen G(n) für n > 50 nur mehr unwesentlich und die Variation des Durchschnitts nimmt mit steigendem n ab. Damit kann der Durchschnitt zum wahren Mittelwert der Verteilung konvergieren, da die Wahrscheinlichkeit für einen sehr großen bzw. sehr kleinen Wert so niedrig ist, dass extreme Werte keinen Einfluss haben.




Last Update: 2012-10-08