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Shapiro-Wilk-Test

Author: Hans Lohninger

Der Shapiro-Wilk-Test ist ein Normalverteilungstest mit hoher Güte, der bereits mit vergleichsweise kleinen Stichproben gute Ergebnisse erzielt. Im Gegensatz zu anderen Vergleichstests ist der Shapiro-Wilk-Test ausschließlich für die Überprüfung der Normalverteilungsannahme geeignet.

Die grundlegende Idee des Shapiro-Wilk-Tests besteht darin, dass man die Varianz auf zwei Arten schätzt: zum einen durch eine Regression im QQ-Plot und zum anderen durch die Stichprobenvarianz. Die beiden Schätzungen sollten für eine Normalverteilung nahe beieinander liegen und damit den Quotienten 1 ergeben. Zu kleine Werte des Quotienten führen zu einer Ablehnung der Normalverteilungshypothese.

Zur Berechnung der Testgröße W geht man wie folgt vor:

  1. Zuerst wird die Stichprobe der Größe n (x1,x2,...xn) aufsteigend sortiert, die sortierte Stichprobe sei mit y1,y2,...yn bezeichnet (y1 < y2 < ... < yn).
  2. Berechne die Summe
  3. a) falls n gerade ist, berechnet man , mit k = n/2.
    b) falls n ungerade ist, wird obige Summe mit k=(n-1)/2 berechnet, der Median wird nicht mitgerechnet.
    Die Werte an-i+1 hängen von der Stichprobengröße ab und sind der Tabelle von Shapiro und Wilk zu entnehmen.
     
  4. Berechne die Testgröße W = b2/S2
Falls der errechnete Wert W kleiner ist, als die in der folgenden Tabelle aufgeführte kritische Grenze, ist die Normalverteilungsannahme abzulehnen.
kritische Grenzen Wα
α=0.01  α=0.05     α=0.01  α=0.05 
5 0.6860.762  160.8440.887
60.7130.788  170.8510.892
70.7300.803  180.8580.897
80.7490.818  190.8630.901
90.7640.829  200.8680.905
100.7810.842  250.8880.918
110.7920.850  300.9000.927
120.8050.859  350.9100.934
130.8140.866  400.9190.940
140.8250.874  500.9300.947
150.8350.881

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Last Update: 2012-10-08