Shapiro-Wilk-Test

Author: Hans Lohninger

Der Shapiro-Wilk-Test ist ein Normalverteilungstest mit hoher Güte, der bereits mit vergleichsweise kleinen Stichproben gute Ergebnisse erzielt. Im Gegensatz zu anderen Vergleichstests ist der Shapiro-Wilk-Test ausschließlich für die Überprüfung der Normalverteilungsannahme geeignet.

Die grundlegende Idee des Shapiro-Wilk-Tests besteht darin, dass man die Varianz auf zwei Arten schätzt: zum einen durch eine Regression im QQ-Plot und zum anderen durch die Stichprobenvarianz. Die beiden Schätzungen sollten für eine Normalverteilung nahe beieinander liegen und damit den Quotienten 1 ergeben. Zu kleine Werte des Quotienten führen zu einer Ablehnung der Normalverteilungshypothese.

Zur Berechnung der Testgröße W geht man wie folgt vor:

1. Zuerst wird die Stichprobe der Größe n (x₁,x₂,...x_n) aufsteigend sortiert, die sortierte Stichprobe sei mit y₁,y₂,...y_n bezeichnet (y₁ < y₂ < ... < y_n).
2. Berechne die Summe
3. a) falls n gerade ist, berechnet man , mit k = n/2.
   b) falls n ungerade ist, wird obige Summe mit k=(n-1)/2 berechnet, der Median wird nicht mitgerechnet.
   Die Werte a_n-i+1 hängen von der Stichprobengröße ab und sind der Tabelle von Shapiro und Wilk zu entnehmen.
    
4. Berechne die Testgröße W = b²/S²

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