Zwei-Stichproben-F-Test

Author: Hans Lohninger

Möchte man zwei Methoden miteinander vergleichen, ist es wichtig zu wissen, ob die Variabilitäten der beiden Methoden gleich sind. Um zwei Varianzen v₁, und v₂ zu vergleichen, muss man das Verhältnis dieser zwei Varianzen berechnen. Dieses Verhältnis wird F-Wert (nach R.A. Fisher) genannt und folgt einer F-Verteilung:

Die Nullhypothese H₀ nimmt an, dass die Varianzen gleich sind und das Verhältnis F deshalb gleich eins ist. Die Alternativhypothese H₁ nimmt an, dass v₁ und v₂ unterschiedlich sind und dass das Verhältnis von eins abweicht. Der F-Test basiert auf zwei Annahmen: (1) die Stichproben sind normal verteilt und (2) die Stichproben sind voneinander unabhängig. Wenn diese Annahmen erfüllt sind und H₀ wahr ist, folgt der F-Wert einer F-Verteilung. Das folgende Schema zeigt die Anwendung eines F-Tests. Um ein F-Quantil oder eine damit verknüpfte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, können Sie entweder in einer F-Tabelle nachschlagen oder einfach den Verteilungsrechner benutzen.

Anmerkungen:

• Wird die Normalitätsannahme nicht erfüllt, sollte man eine nicht parametrische Methode verwenden. Im Allgemeinen ist der F-Test gegen Abweichungen von der Normalität empfindlicher als der t-Test.
• Der F-Test kann dazu verwendet werden, die Annahme gleicher Varianzen für den Zwei-Stichproben-t-Test zu überprüfen. Allerdings bedeutet dies nicht die Rückweisung der Nullhypothese, dass die Varianzen gleich sind (da ja die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers der 2. Art unbekannt ist).

Beispiel:
Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Messserien, eine mit 10 Beobachtungen und eine mit 13 Beobachtungen. Die Varianz der ersten Serie ist 0,88, die Varianz der zweiten Serie 1,79. Ist die Varianz der zweiten Serie signifikant größer als die Varianz der ersten (bei einem Signifikanzniveau von 0,05)?

Um das zu überprüfen, stellen wir die Nullhypothese auf, dass die Varianz der zweiten Serie nicht größer ist als die Varianz der ersten Serie. Die Alternativhypothese wäre, dass die zweite Varianz größer als die erste Varianz ist. Als Nächstes müssen wir den F-Wert berechnen: F = 1,79/0,88 = 2,034. Jetzt können wir den F-Wert mit dem kritischen Wert bei einem Signifikanzniveau von 5% vergleichen. Durch Verwendung des Verteilungsrechners finden wir einen kritischen Wert von 3,073. Da F nur 2.034 ist, können wir unsere Nullhypothese nicht verwerfen (die zweite Varianz ist nicht signifikant größer als die erste).